HOME


中村義作著四面体」

 このページでは、中村義作著「自己拡大する四面体」(『数理パズル』所収、中央公論社、1976)のダイジェスト版と、私の感想をお伝えします。なお、図はこちらですべてかきおこしたもので、説明のために〔12分の1の四面体〕等の名前を付けてあります。

 三角形や正方形で平面をすき間なくしきつめるのは簡単だが、立体となると事は面倒になる。
 立体の中で最も単純な四面体について、空間をすき間なく埋めつくすものを探してみよう。
 立方体をきちんと積み重ねれば空間がすき間なく埋められるから、
 「立方体を同じ形の四面体に切り分ける」ことを考えてみる。

 まず、下図のように立方体を切り口が中心を通るようにして切り分けると、同じ形をした6個の四角錐〔6分の1の四角錐〕が得られる。この四角錐を半分に切ると、底面が直角二等辺三角形の四面体〔12分の1の四面体〕になる。

 
        

 〔12分の1の四面体〕を12個集めれば立方体になるので、
 この立方体をもとにして空間を埋めることができるのはもちろんだが、
 見方を変えると別の埋め方もできる。
 〔12分の1の四面体〕8個を下図のように組み合わせると、相似形の四面体ができる。
 これをさらに8個組み合わせれば、もうひとまわり大きい四面体になる。
 この操作はいくらでも続けられるから、空間をすき間なく埋めていくことができる。

 このように、自分自身を拡大した四面体が作り出せるとき、「自己拡大型」 の四面体と呼ぶことにしよう。

 〔12分の1の四面体〕の底面は直角二等辺三角形であるから、下図のように半分に切れば、〔24分の1の四面体〕ができる。

 〔24分の1の四面体〕も、自己拡大型の四面体である。

 さらに、〔24分の1の四面体〕を2個、底面の直角二等辺三角形の部分を合わせるようにして密着させると、
 〔2:√3:√3の四面体〕ができる。

これがうわさの四面体

 〔2:√3:√3の四面体〕も自己拡大型である。


 〔2:√3:√3の四面体〕を下図のように組み合わせると、プリズムを斜めに押しつぶした形の三角柱になる。
 この三角柱は、次々につなげて、いくらでも長くすることができる。
 しかも、垂直に切ってみると断面は正三角形になっているので、正三角柱や正六角柱が作れる。
 だから、正三角形や正六角形で平面をすき間なく敷きつめるように、空間をすき間なく埋めることができる。



 

 私としては、はじめの2つの四面体が自己拡大型であるということにさほど驚きはありませんでした。12等分の切り目を入れた立方体を8個あわせてひとまわり大きい立方体を作り、これを12等分すれば、〔12分の1の四面体〕の2倍の四面体が得られるので、自己拡大型であるのはあたりまえ、という印象がありました。〔24分の1の四面体〕についても同様。その様子を見てみると・・・・・・

 

 

 それにひきかえ、〔2:√3:√3の四面体〕は、立方体を等分割して得られる四面体ではないのに自己拡大型であるというのが面白いなあ、と思いました。
 〔2:√3:√3の四面体〕をつなげて作った三角柱を立方体の中にあてはめてみると、次のようになります。

 

 

 しかし、どうもこの三角柱というのはイメージしにくいのです。実際に模型を作ってみても、空間を埋めつくせる形であるというのがいまひとつピンときません。
 立方体から出発した形は立方体にもどして考えてみようということで、四面体4個で右図のような八面体をつくり、この八面体を1つのかたまりとして考えました。
 下図のように、八面体を同じ方向に並べたあと、横向きにした八面体で間をうめていけば、空間をすき間なく埋めつくせるというのもわかるような気がします。

 

 

 ちなみに、この八面体を6個あわせると 菱形十二面体 になります。菱形十二面体は、 立方体の各面に〔6分の1の四角錐〕をはりつけた形とみることもできます。やはり空間充填形です。何度も見取図に挑戦しているのですが、なかなかうまくかけません。かわりにといってはなんですが、〔2:√3:√3の四面体〕の展開図 (のりしろ付き) を用意しましたので、がんばって24個作って、組み合わせを楽しんでみてください。きれいじゃなくてもいいからはやくたくさん作りたい方は、こんな方法もあります。菱形十二面体は立方八面体と双対関係にありますので、よろしかったら正多面体の双対のページもどうぞ。

 そんなわけで、2:√3:√3の四面体を六角柱型の容器に6個ずつ3段積み上げると、全体の形は菱形十二面体をえぐったような形になります。特徴的なのは、となりあった2つの四面体で1つの面ができるため、積み上げたときの頂上が三角錐状になるところ。

 一方、私が協同乳業の東京工場で体験した三角パック(テトラ・クラシック)の積み方は、次のようなものでした。

 クレートの底は六角錐状になっており、シール部分(短辺)で底面の六角形をつくるようにして、1段目、2段目、3段目を積み上げていきます。3段目をのせるときには、クレートのでっぱりにあわせるようにして2段目とは互い違いになるように積みます。この上に次のクレートを重ねれば、上のクレートの底と下のパックの頂上がきれいにあわさることになります。

 

 ところで、〔12分の1の四面体〕を厚紙で作るとき、その展開図は下図左のようになるから、厚紙に無駄が生じてしまう。
 そこで、それ自身は空間を埋めつくす四面体で、その展開図を厚紙からいくつも切り抜くとき、
 厚紙にまったく無駄の生じないような四面体を考えてみよう。
 ここまで探してきた四面体のうち、〔2:√3:√3の四面体〕の展開図は下図右のように三角形になるので、
 すき間なく平面を敷きつめることができる。

 〔2:√3:√3の四面体〕の展開図は平行四辺形にすることもできる。

 上図のように
 細長いテープ状の厚紙から望みの平行四辺形を次々と切り抜き、
 それをくるくると巻くように折れば、
 市販の牛乳の紙容器のような四面体を能率よく作ることができる。

 三角パック(テトラ・クラシック)と2:√3:√3の四面体を結びつける一連の著述は、おそらくこの1文に端を発しているのではないかと思います。この本の中では、
  「2:√3:√3の四面体ではなくても、展開図が平行四辺形になるものはたくさんあり、
   その場合は牛乳の紙容器のような四面体を効率よく作ることができる」
という文脈のもとに牛乳の紙容器が登場したのだと思うのですが、それがいつのまにか「三角パックは2:√3:√3の四面体」という話になっていったのではないでしょうか。

 空間をすき間なく埋めていく四面体で、その展開図が平面もすき間なく敷きつめるという考えは、
 筆者(中村義作)の独創で、ここに初めて紹介されるものである。

本の中では、あと2つ、四面体が紹介されています。1つは展開図が六角形になるもの、もう1つは展開図が五角形になるものです。興味のある方は、是非本をごらんください。中公新書の427です。

日本における牛乳の三角パックの歴史へ→